台形の斜辺の点を結んで最短路を作る - 灘中入試模試 【0036】
何十年も前に灘中の文化祭の数学研究部の展示の中で「灘中入試模試」という企画を自分が始めました。その中から良問を振り返ります。自分のルーツとも言えるべき問題です。
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図のような台形ABCDがある。 CD上に点Pを取り、AP+BPを最小にする時、DPはcmである。
単純な設定ながら、素早く解くのはちょっと難しそうな問題です。
問題文も短めです。
困った時だけヒントを見ましょう
ヒント1を表示▼
折れ線 AP + PB の長さを最小にする問題（最短経路）では、直線を境にして一方の点を反対側へ折り返す（対称移動する）のが定石です。
ヒント2を表示▼
点Bを直線CDに関して対称移動させた点を B’ とすると、BP = B’P となるので、AP + BP = AP + B’P と直線に伸ばして考えることができます。
点Aと B’ を結ぶ線分がCDと交わる位置を点Pとすれば、AP+PBが最短になります。
ヒント3を表示▼
B’ からBCに平行な線を引いてCDとの交点をEとする補助線を引きます。
ヒント4を表示▼
三角形 ECB’ はどういう三角形でしょうか。
ヒント5を表示▼
三角形 ECB’ は正三角形です。
後は DE の長さが求まれば DP の長さが分かりそうです。
