2000を割ったら余りが商より47大きい - 灘中入試模試【0031】

何十年も前に灘中の文化祭の数学研究部の展示の中で「灘中入試模試」という企画を自分が始めました。その中から良問を振り返ります。自分のルーツとも言えるべき問題です。

問題文を表示▼

2000を2桁整数である $\rtext{　　}$ で割ると余りが商より47大きくなった。

昔作った一行問題です。

なぜ2000を使っているかと言うと、この次の年が西暦2000年だったからです!

歴史を感じますね。

困った時だけヒントを見ましょう

ヒント1を表示▼

割り算の基本関係式「（割られる数）＝（割る数） $\times$ （商）＋（余り）」を思い出しましょう。

商を $B$ とおくと、余りはどのように表せるでしょうか？また、割り算が成り立つために、割る数と余りの間にはどのような大小関係が必要でしょうか？

ヒント2を表示▼

割る数を $A$ 、商を $B$ とおくと、

2000 = A \times B + (B + 47)

となります。47を移項して共通因数 $B$ でくくると、

1953 = (A + 1) \times B

と変形できます。1953を素因数分解して、 $A$ が2桁整数であることと、 $A > B + 47$ （割る数 $>$ 余り）を満たすペアを絞り込んでみましょう。

2000を割ったら余りが商より47大きい - 灘中入試模試【0031】の解答・解説