正方形6枚と正三角形8枚でできる立体 - 灘中入試模試 【0014】 解答・解説

解答

180 cm³

解説

展開図から攻めてもいいと思いますが、まずは答えの形から図示します。

この立方体の辺の全ての中点を結んだ立体が答えとなります。

言い換えると、立方体の各頂点を正三角形になるように削った形とも言えます。

この立体は 「立方八面体」 と呼び、正三角形8枚、正方形6枚で出来ています。

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正方形の面積が 18cm² だったので、削る前の元の立方体の一面の面積はその2倍の 36cm² ということになります。つまり、一辺は 6cmです。

立方体の体積は $6 \times 6 \times 6 = 216$cm³です。

そこから三角錐を8つ取り除いた形です。

取り除く体積は $3 \times 3 \div 2 \times 3 \times \frac{1}{3} \times 8 = 36$cm³です。

よって求める体積は $216 - 36 = 180$cm³となります。