最大公約数と最小公倍数が分かっている時【0012】

まずは登場する数 (1800, 15, 2700, 9) を素因数分解 (2×2×…のように素数のかけ算) してみましょう。最大公約数は「共通して持っている素因数」、最小公倍数は「少なくともどちらかが持っている素因数」を表しています。

最大公約数 (15や9) に2が含まれていないため、AとB、BとCが同時に偶数になることはありません。もしBが偶数だと仮定すると矛盾が生じます。どんな矛盾か考えてみて下さい。

もしBが偶数だと仮定すると、AもCも奇数となります。その場合、「AとBの最小公倍数」と「BとCの最小公倍数」に入る2の素因数の数が同じ (= Bが持つ2の素因数の数) でないといけませんが、

$1800 = 2\times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5$

$2700 = 2\times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5$

で 2 の素因数の数が異なります。

つまり「Bは奇数 (2を持たない) 」と確定できます。ここからAとCが持つ2の個数が分かります。

3や5についても同様に、最大公約数（少ない方の個数）と最小公倍数（多い方の個数）を比べることで、 A,B,C がそれぞれ持つ素因数の個数がすべて1通りに決まります。