111...111 × 111...111 に6が6回、9が9回【0016】 解答・解説

解答

M=27, N=31

解説

111…111 同士の掛け算の筆算は、下の様に 1 が平行四辺形に並んだ形となります。N=9, M=6の例がこちらです。

上の例では M が平行四辺形の高さ、N が横の長さです。

右側の三角形の部分が横 M-1、左側の三角形の部分も横 M-1、中央の四角形が横 N-M+1 となります。

これを縦に足していきます。中央には同じ数字が並びそうですね（上の図では6）。

$M > 10$ の時は繰り上がりが発生します。いきなり繰り上がりを考えるのではなく、一度一桁のマスに2桁以上押し込むようにして考えると、例えば M=13 で、13が仮に3回繰り返されている時の中央付近を縦に足していった結果は

7	8	9	10	11	12	13	13	13	12	11	10	9	8
↑という風になります。これの繰り上がりを処理すると、 10以上の数は隣の桁に繰り上がるので↓のようになります。
7	9	0	1	2	3	4	4	4	3	2	0	9	8

$M=23$ くらいでも実験しましょう。

16	17	18	19	20	21	22	23	23	23	22	21	20	19	18	17
今度は2繰り上がる場合も考慮します。
8	9	0	1	2	3	4	5	5	5	4	3	2	0	9	8

よって法則性としては

• 右端には 987654321
• その隣には 987654320 を繰り返すループ
• どこかでループが止まり、ある特定の数を繰り返す
• 左端には 123456790 が繰り返すループ
  • (ただし99..99が中央で連続している場合はその隣に 12345678 と 8が出る)

この法則性を使うと、6が6回出て、9が9回出てくるためには

• 6 は左3回と右3回出てくる
  • 右端は 654321,987654320,987654321 で 3回
  • 左端は 123456790,123456790,123456 で 3回
• 9 は上記にすでに 4回含まれている。
  • 右も左ももう少し伸ばして 789 を入れて合計6個を消費する
    • 右端は 987654321,987654320,987654321
    • 左端は 123456790,123456790,123456789
  • そして真ん中に 999 を3つ入れる。

つまり

$$123456790,123456790,123456789,999,987654320,987654320,987654321$$

という数になる。

連続する数が出てくるまでの桁数が M だったので、M = 27。

中央の四角形が横 N-M+1。9が真ん中で5回繰り返されているので、 N-M+1=5。N=M+4 で、N = 31。