「135790パズル」【0023】 解答・解説

解答

(1) 319750 + 759103

(2) 375019 + 703915

解説 (1)

では、実際の (1) を解くためのページ上で解いてみましょう。

まず、使う数は0を除き全て奇数です。2つの奇数の和は1+3, 5+7 など、全て偶数になります。しかし、0があるため、0+奇数は奇数となります。

和の結果に奇数が入っていた場合、それは下の位から1繰り上がっている場合と、繰り上がっていなくて0+奇数の足し算が行われた可能性と両方あります。これが0がない「13579パズル」との違いです。

しかし、今回は一の位が3で奇数です。ここには繰り上がりがないので、0+3 が確定します。0と3をどちらに入れてもいいですが、今回は0を上に、3を下に入れます。

次に十の位を見ます。ここには繰り上がりがないのに、また和が5で奇数です。つまりここも 0+5 が確定します。先ほど0を上に入れたので、今回は0を下に入れないといけません。

もう0を使い切ったので、残りは 13579パズルと同じ様に解くことが出来ます。和の数字で奇数の部分には繰り上がりが発生しているので、繰り上がりマークを入れておきましょう。

千の位は、和が18にならないといけないので 9+9 確定です。

次に一万の位を見ます。千の位から1繰り上がって、さらに和が7なので、ここに入るのは 1+5 か、3+3 しかありません。しかし、1の位に 3 を使ってしまっているので 3+3 は使えません。よってここは 1+5 です。5は十の位の上の段に入れたので、今回は下に入れないといけません。

次に百の位を見ます。足して8になるのは、1+7 か 5+3 です。しかし、5は上下の段で使われてしまっているので 5+3 は使えません。1+7 を入れます。

最後に余った 3 と 7 を入れましょう。

完成です！

解説 (2)

(2)はやや難しいです。仮定を立てて違ったら別を試す試行錯誤が必要です。今回はあえて全ての仮定が外れる場合を紹介します。意図としては135790パズルは理詰めで解けるよ、ということを示すためです。

まずは実際の (2) を解くためのページ上で解いてみましょう。

一番上の位の繰り上がりは確定しているので、1をつけます。

次に手がかりになりそうなところは簡単には見つかりません。そこで

仮に十万の位への繰り上がりがあると仮定します。

1をつけてみましょう。

十万の位は2つの数の合計が9にならないといけないので、9+0 しかありません。

しかし、そうすると、0が最上位に来てしまうのでおかしいです。

つまり、十万の位への繰り上がりは無かったことが確定します。

十万の位への繰り上がりがない「0」を記入します。

次も手がかりがないので、今度は

仮に一万の位への繰り上がりがあると仮定します。

1をつけてみましょう。

一万の位は2つの数が合計6と分かりますが、1+5 か 3+3 かわかりません。

次に千の位をみると、「一万の位に繰り上がって、しかも千の位の和が8」になっています。このことから千の位の2つの数は 9+9 しかなく、しかも百の位から千の位への繰り上がりがないことが確定します。

またここで行き詰まります。

さらに仮に十の位から百の位への繰り上がりがないと仮定します。

そうすると、百の位の2つの数は足して9にならないといけません。0+9 しかありませんが、9が2個とも千の位に使われているので 0+9 は作れません。つまり百の位への繰り上がりはあったとわかります。

百の位への繰り上がりを 1 にします。

そうすると、百の位の2つの数は足して8となります。1+7 か 3+5です。

ここで、0の使われ方について注目します。0は十万、一万、百の位には現れることができません。そして十の位を見ると、十から百へ繰り上がっているので、十の位にも0は使えません。そうすると、2つの0は二個とも一の位に使わないといけなくなります。しかし一の位の和は4か14なので、おかしいですね。

つまり、たくさん巻き戻って「一万の位への繰り上がりがある」という仮定が間違っていたことが分かります。

一万の位への繰り上がりを0にしましょう。

そうすると、一万の位の2つの数字の和が7なので、0+7しかありません。0 と 7 を入れます。

今度は仮に千の位への繰り上がりがあると仮定します。

そうすると、千の位の2つの数字の和が7なので、0 + 7 が確定します。

百の位は和が19となっているので、9+9 が入ります。しかも十の位から繰り上がりがあることも分かります。

次に十の位をみると和が3で奇数です。もう0は使い切っているので、一の位からの繰り上がりがあることが分かります。

さて、一の位の和が14だと確定しましたが、それは 5+9 か 7+7 でしか作れません。しかし 7 も 9 も使い切ってしまいました。つまり矛盾しています。

つまり千の位への繰り上がりは無かったことが確定します。

ここまで戻りましょう。

今度は仮に百の位への繰り上がりがあると仮定します。

これは、先ほどと同じ様に 0 が使われる場所が無くなる現象が発生します。0 は十万、千、百の位には入りません。しかも十の位から百の位への繰り上がりがあるため、十の位にも入りません。一の位に2つ使うと 4が作れません。

つまり、百の位への繰り上がりは無かったことが確定します。

百の位への繰り上がりを 0 にしましょう。

そうすると、百の位の2つの数は足して9となります。つまり 0 + 9 が確定します。

しかも 0 を2つ使い切りました。十の位が3となるためには一の位から十の位へ繰り上がりがないといけません。

十の位の2つの数は足して2となります。つまり 1+1 が確定します。

一の位の2つの数は足して14となります。5+9 か 7+7 が考えられますが、7が一箇所使われているので、5+9 が確定します。

十万の位の2つの数は足して10です。1+9 か 3+7 か 5+5 が考えられますが、1+9 は別の場所で9が二回使われていて、5+5 は別の場所で5が一箇所使われているので、3+7 が確定します。

残った 3+5 を入れます。

完成です！ お疲れ様でした。

ちなみにこの解答は、全ての選択肢で間違えた場合の手順をあえて紹介しました。運が良ければもっと早く解けます。