正六角形の5等分【0025】

一辺が1cmの正三角形の面積を $\ctext{1}$ とします。

その時、60°や120°に開いた角度の二辺で作る三角形の面積は簡単に表せます。

例えば、60°に開いた角度の二辺の長さが3cm, 5cm だとすると、その面積は $\ctext{15}$です。

また、120°に開いた角度の二辺の長さが3cm, 5cm の時でも、その面積は $\ctext{15}$です。

仮に正六角形の一辺を1cm とおいて、正六角形全体の面積を $\ctext{6}$ と置いてみましょう。

そうすると、5等分の面積は $\ctext{1.2}$ です。

三角形BCD の面積は 正三角形一つ分と同じ面積です。（120°に開いた1cmと1cmでできる三角形 ということからも説明できます。）

つまり、三角形BPDの面積は $\ctext{1.2} - \ctext{1} = \ctext{0.2}$ と分かります。

三角形ABD の面積は $\ctext{2}$ です。なので三角形 APD : BPD = $\ctext{1.8} : \ctext{0.2}$ となり、 AP : PB = 9:1 とわかります。

そこからさらに、三角形PQD, PQE, PER, PRS と順に整理していって、長さを特定していきましょう。

ただし、REの長さを求める時にちょっと悩むかも知れません。