何度も往復するAと7回出会う - 灘中入試模試 【0027】
何十年も前に灘中の文化祭の数学研究部の展示の中で「灘中入試模試」という企画を自分が始めました。その中から良問を振り返ります。自分のルーツとも言えるべき問題です。
問題文を表示▼
m離れた2地点P,Qがあり、A,Bの二人がそれぞれ一定速度でPからQへ向かった。 AはPQ間を何度も往復する。 Bが初めてQに着いた時、AはPから300mの所にいて、Bは出発してから到着するまでにAに7回出会っていた。1回目に出会ってから2回目に出会うまでの時間が、6回目に出会ってから7回目に出会うまでの時間の3倍であった。
高3の時に作った問題です。出てくる数字が 300m, 7回, 3倍 などと少ない割になかなか考えることが多いです。今振り返ってもなかなか綺麗な問題だなと思います。
できれば x や y などの変数を置いて方程式で解くのではなく、算数的に解いてみて下さい。
困った時だけヒントを見ましょう
ヒント1を表示▼
ダイヤグラム（時間と位置のグラフ）をかいて状況を整理してみましょう。AとBには「向かい合ってすれ違うとき（奇数回目）」と「Aが後ろからBを追い抜くとき（偶数回目）」の2種類の出会いがあります。
ヒント2を表示▼
こんな感じです。
ヒント3を表示▼
「出発〜1回目」「1回目〜3回目」「3回目〜5回目」「5回目〜7回目」の4区間に注目してみましょう。それぞれの区間で、2人の移動距離の合計はすべてPQ間の距離の2倍になりますね。
二人の速さは一定なので、これら4つの区間にかかる時間はすべて等しくなります。
ヒント4を表示▼
等しい時間間隔を利用して、緑の下三角と、水色の下三角に注目します。
これは相似です。相似比はいくらでしょうか。
ここから「5回目から6回目に出会うまでの時間」を比で表すことができます。
ヒント5を表示▼
相似比は 1:3 なので、「5回目から6回目に出会うまでの時間」は となります。
すると「5回目〜7回目」の時間は と求まります。
さらに、その時間は「出発〜1回目」までの時間とも一緒でした。
後は AとBの速度比を求めましょう。ここからは頑張ってみて下さい。
