正六角形の5等分【0025】解答・解説

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正六角形の5等分【0025】

2026/10/20 更新

3 : 12 : 4

一辺が1cmの正三角形の面積を $\ctext{1}$ とします。

その時、60°や120°に開いた角度の二辺で作る三角形の面積は簡単に表せます。

例えば、60°に開いた角度の二辺の長さが3cm, 5cm だとすると、その面積は $\ctext{15}$ です。

また、120°に開いた角度の二辺の長さが3cm, 5cm の時でも、その面積は $\ctext{15}$ です。

仮に正六角形の一辺を1cm とおいて、正六角形全体の面積を $\ctext{6}$ と置いてみましょう。

そうすると、5等分の面積は $\ctext{1.2}$ です。

三角形BCD の面積は正三角形一つ分と同じ面積です。（120°に開いた1cmと1cmでできる三角形ということからも説明できます。）

つまり、三角形BPDの面積は $\ctext{1.2} - \ctext{1} = \ctext{0.2}$ と分かります。

三角形ABD の面積は $\ctext{2}$ です。（理由: ABCDからBCDを引いてもいいですし、ABに対するBDの高さは正六角形の中心までの高さの2倍、と言ってもいいです）

なので三角形 APD : BPD = $\ctext{1.8} : \ctext{0.2}$ となり、 AP : PB = 9:1 とわかります。

三角形 QDPの面積も $\ctext{1.2}$ です。三角形PEDの面積は三角形BEDの面積と等しく $\ctext{2}$ なので、三角形PEQ の面積は $\ctext{0.8}$ となります。

5等分された四角形PQERの面積が $\ctext{1.2}$ であり、四角形PQER = 三角形PEQ + 三角形PRE であるため、三角形 PRE の面積は $\ctext{1.2} - \ctext{0.8} = \ctext{0.4}$ となります。

REの長さを求めるには、辺EFに対するPの高さが必要です。

三角形FAEが $\ctext{1}$ 、三角形FEBが $\ctext{2}$ であることから、EFに対する P の高さは、Bまでの高さの

\dfrac{1.0+0.9}{1.0+1.0} = \dfrac{19}{20}

倍とわかります。つまり三角形 REBの面積は

\ctext{0.4} \div \dfrac{19}{20} = \ctext{\frac{8}{19}}

です。三角形 FEBの面積は $\ctext{2}$ だったので、REの長さは

\frac{8}{19} \div 2 = \frac{4}{19}

となります。

三角形PSRの面積も $\ctext{1.2}$ です。

三角形PSRの面積が $\ctext{0.4}$ で、三角形PSRの面積はその面積の3倍となっているので、SRの長さはREの長さの3倍の $\dfrac{12}{19}$ と求まります。

残った FS の長さは

1 - \dfrac{4}{19} - \dfrac{12}{19} = \dfrac{3}{19}

と求まります。

よって FS:SR:RE の比は

\dfrac{3}{19} : \dfrac{12}{19} : \dfrac{4}{19} = 3 : 12 : 4

となります。

辺FEに対する P の高さの処理の扱いが難しいかと思います。