何度も往復するAと7回出会う - 灘中入試模試 【0027】 解答・解説

状況をダイアグラムに表すと以下のようになります。

1回目に出会ってから2回目に出会うまでの時間を $\ctext{3}$、6回目に出会ってから7回目に出会うまでの時間を $\ctext{1}$とします。

ここで、

• 出発から1回目に出会うまで
• 1回目に出会ってから3回目に出会うまで
• 3回目に出会ってから5回目に出会うまで
• 5回目に出会ってから7回目に出会うまで

に区切って考えます。

この各回とも、二人の移動の距離の合計は PQ間の距離の2倍です。A,Bの速度は一定なので、この4つの区間にかかった時間は同じになります。

同じということは、下図の点線の長さは 1:2:3:4 の長さになっているということです。

すると、下図の斜線の2つの三角形は相似比が 1:3 です。

以上のことから、5回目に出会ってから6回目に出会うまでの時間は、$\ctext{9}$ とわかります。

つまり、5回目に出会ってから7回目に出会うまでの時間は、$\ctext{10}$ となり、

• 出発から1回目に出会うまで
• 1回目に出会ってから3回目に出会うまで
• 3回目に出会ってから5回目に出会うまで
• 5回目に出会ってから7回目に出会うまで

この全てが $\ctext{10}$ とわかります。つまり、以下のような時間配分だとわかります。（出発から1,2回目に出会うまでの時間が重要で、他は求める必要はありませんが図示してあります）

さて、ここで出発から1,2回目に出会う部分だけに注目します。

この赤い三角と緑の三角も相似で、相似比が 10:3 です。

つまり、1回目に出会う場所をRとすると、PR:RQ = 3:10 とわかります。

ここから A と B の速度比を求めます。A が $\rtext{3} + \rtext{10} + \rtext{10}$ 進む間に B が $\rtext{3}$ 進むので、速度比は 23:3 と分かります。

（ちなみに、$23 \div 3 = 7.\cdots$ となるので、Bの到着までに7回出会っていることも確かめられます。）

PQの長さを上の図のまま $\rtext{13}$ と置きましょう。そうすると、Bが $\rtext{13}$ 進む間にA がいくら進むかと言うと

です。

Aは7回折り返すまでの間 $\rtext{13} \times 7 = \rtext{91}$ の距離進んでいるので、Aが Q から P へ進んだ距離は

です。7回出会った後の状況をまとめると以下のようになります。

さて、$\rtext{\dfrac{26}{3}} : \rtext{13} = 2 : 3$ なので、 AはQから全体の $\dfrac{2}{3}$ 進んだ位置、つまりPから全体の $1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$ の位置にいます。

したがって、PQの長さは $300 \times 3 = 900$ m となります。