下2桁の循環 - 灘中入試模試 【0001】 解答・解説

解答

49

解説

下2桁の動きを追っていきましょう。

• $57$ の下2桁は 57
• $57 \times 57 = 3249$ より、下2桁は 49
• $49 \times 57 = \dots 2793$ より、下2桁は 93
• $93 \times 57 = \dots 5301$ より、下2桁は 01

下2桁が 01 になると、その次はまた $01 \times 57 = 57$ となり、循環が始まります。 つまり、下2桁は [57, 49, 93, 01] の4つの数字を周期として繰り返します。

58回かけた時の下2桁を求めるには、$58 \div 4$ を計算します。

$58 \div 4 = 14$ 余り 2

周期の2番目の数字が答えとなるため、下2桁は 49 となります。

余談

57以外にも4回でループする2桁の数は結構あります。1~99までの全ての整数の2桁循環が何回でループするかという表を作りました。

何回でループするか	1~99までの整数
1	1, 5, 10, 20, 25, 26, 30, 40, 45, 50, 60, 65, 70, 76, 80, 85, 90
2	15, 24, 35, 49, 51, 55, 74, 75, 95, 99
4	7, 18, 32, 43, 57, 68, 82, 93
5	6, 16, 21, 36, 41, 46, 56, 61, 66, 81, 86, 96
10	4, 9, 11, 14, 19, 29, 31, 34, 39, 44, 54, 59, 64, 69, 71, 79, 84, 89, 91, 94
20	2, 3, 8, 12, 13, 17, 22, 23, 27, 28, 33, 37, 38, 42, 47, 48, 52, 53, 58, 62, 63, 67, 72, 73, 77, 78, 83, 87, 88, 92, 97, 98

さらに下3桁の循環で4回か5回ループするものも面白いです。

何回でループするか	1~999までの整数
4	182, 193, 307, 318, 432, 443, 557, 568, 682, 693, 807, 818, 932, 943
5	176, 201, 226, 276, 326, 401, 426, 476, 526, 576, 601, 676, 726, 776, 801, 826, 926, 976