排水口が3つある水槽に水を溜める【0015】 解答・解説

解答

6060秒

解説

各エリアに水が溜まるのにかかった時間は

水の注ぐスピードを $\rtext{1}$、一つの排水口の排出スピードを $\ctext{1}$とすると、各エリアの水が溜まるスピードは

となります。ここで、$\rtext{1} - \ctext{3}$ の2つの部分は、スピードが同じです。$x$ と $y$ を図の部分の底面積とすると、

$$(x+y) \times 6 \mathrm{cm} : y \times 21 \mathrm{cm} = 450 : 420$$

となるので、

$$(x+y) : y = \dfrac{450}{6} : \dfrac{420}{21} = 15:4$$

から

$$x : y = 11:4$$

となります。

さて、溜めるのにかかった時間と溜まるスピードが分かっているので、水が溜まる容積は

とわかります。これが左側と右側で $11:4$ ということが分かっています。

$$\begin{align*} \text{左側の容積} &= (\rtext{440} - \ctext{880}) + (\rtext{240} - \ctext{240}) + (\rtext{320} - \ctext{640}) \\ &= \rtext{1000} - \ctext{1760} \\ \\ \text{右側の容積} &= \rtext{420} - \ctext{1260} \end{align*}$$

なので

$$\begin{align*} \rtext{1000} - \ctext{1760} : \rtext{420} - \ctext{1260} &= 11 : 4 \\ \\ \rtext{4000} - \ctext{7040} &= \rtext{4620} - \ctext{13860} \\ \ctext{6820} &= \rtext{620} \\ \ctext{11} &= \rtext{1} \end{align*}$$

とわかります。ここで、もう一度水の溜まる量を排水スピード $\ctext{1}$ 基準で書き直すと

となります。水を抜く時のスピードは

なので、割り算すると水を抜くのにかかる時間が分かります。秒で表すと

となります。これらは同時並行で排出されるので、一番最後に空になるのはBです。

答えは

$$1200 + 1980 + 2880 = 6060秒$$

です。