縦横に規則的にならんだ数字の2×2マスの和【0021】 解答・解説

解答

234, 235, 265, 266

解説

Aをある平方数、Bを次の平方数とすると

という並び方をしています。

A+Bは必ず奇数となっています。

選んだ2×2マスが右上側にある場合は、図2のように上2マスの合計と下2マスの合計の差は2で、上2マスの方が大きいです。合計が1000ということから

となります。

また、選んだ2×2マスが左下側にある場合は、下図のように左2マスの合計と右2マスの合計の差は2で、右2マスのほうが大きいです。よって

となります。

というわけで、足して500近辺になる2つの連続する平方数の和を探していくと、

$$15 \times 15 + 16 \times 16 = 481$$

と

$$16 \times 16 + 17 \times 17 = 545$$

が見つかりますが、481の方が500に近いです。そのため、481からだんだん増えていくという、左下側に注目するべきです。

左下側の左端は A+1, B+1 という2つの数字なので、今回の場合 $15 \times 15 + 1 = 226$ と $16 \times 16 + 1 = 257$ が並びます。

そして右に見ていった時に和が 499, 501 となる場所を探します。

縦の合計が 483 から 499 と 16増えているので、右に8マス行ったところとわかります。

よって226と257 に、8と9を足した

234	235
265	266

が答えの候補となります。位置を確かめると 16,17段目の9,10列目にあるので、まだ左下側に収まっています。

よって、上の4マスがそのまま答えとなります。

余談

右上には無い証明

右上にあるとすると、 $16 \times 16 + 17 \times 17 = 545$ の場所 (つまり16,17列目) から下に下っていき、横2マスの和が(501, 499) となる場所を探します。それがあるとすれば $(545 - 501) \div 2 = 22$ 段下がったところ (つまり23段目)になりますが、そこは右上側ではなく、対角線をまたいでしまっています。

対角線上には無い証明

を考えます。A = $n^2$とすると、

$n^2 - (n-1)$	$(n+1)^2 - (n-1)$
$(n+1)^2 - (n+1)$	$(n+1)^2 - n$

なので、4つの合計は $n^2 + 3(n+1)^2 - (4n-1) = 4n^2 + 2n + 4 = 1000$

これは自然数ではないので、ありません。