円が通った部分の境界線を別の円が通る【0034】 解答・解説

解答

94.2cm²

解説

半径3cmの円の中心が、90度円弧を通った時、円が通る部分Aは

となります。図形Aの輪郭（境界線）は、以下の3つの部分でできています。

• 外側の円弧: 半径 $9 + 3 = 12\mathrm{cm}$（中心角90度）
• 内側の円弧: 半径 $9 - 3 = 6\mathrm{cm}$（中心角90度）
• 両端: 半径 $3\mathrm{cm}$ の半円 2つ

さらに、この図形Aの輪郭の上を半径1cmの円の中心が1周すると、円が通る部分は輪郭の内側と外側にそれぞれ幅1cmずつ（合わせて幅2cm）広がった帯状の図形になります。

よって面積の合計は

$$(12 + 18) \times 3.14 = 94.2 \mathrm{cm}^2$$

です。

別解

半径1cmの円の中心が動く経路に角（折れ曲がり）がなく、またカーブの内側がつぶれる（自己交差する）ようなことがなければ

面積 = 中心が動いた長さ $\times$ 円の直径というセンターラインの公式を使うことができます。中学入試で堂々と使っていいかは微妙ですが、答えのみ聞かれている問題なら使っていいと思います。

要は、幅固定のモップで掃除しているような状況の時に使える公式ですね。

Aの周囲の長さは

$$(6 + 24 \times \dfrac{1}{4} + 12 \times \dfrac{1}{4}) \times 3.14 = 15 \times 3.14 \mathrm{cm}$$

です。円の直径は $2\mathrm{cm}$ なので答えは

$$15 \times 3.14 \times 2 = 94.2\mathrm{cm}^2$$

と同じ結果になります。