中空の直方体を作る竹ひごとねんど玉 【0035】 解答・解説

解答

(1) 縦28本, 横36本、高さ40本、ねんど玉54個

(2) 縦32本, 横42本、高さ50本、ねんど玉64個

(3) 「（ねんど玉）- (高さ方向の竹ひご) - 2」= $2 \times \text{縦} \times \text{横}$

(4) 縦12cm, 横6cm, 高さ10cm

解説

(1)

縦2cm、横3cm、高さ4cm の中空直方体を図示すると、以下のようになります。

でも数えにくいので、縦方向だけ色を変えてみましょう。

これは2cmの線が何個も手前の面から奥の面に向かって伸びていることが分かります。

手前の面に突き刺さっている縦方向の竹ひごだけ取り出してみると、以下のようになります。

これは14個突き刺さっていますが、この14 というのは

$$(\underbrace{3}_{横} + \underbrace{4}_{高さ}) \times 2$$

だと分かります。どの突き刺さりからも、縦方向に2cm伸びているので縦方向の竹ひごの数は

$$\underbrace{2}_{縦} \times (\underbrace{3}_{横} + \underbrace{4}_{高さ}) \times 2 = 28\text{本}$$

と分かります。同様に横方向も

の様に使われていますね。これも右の面に突き刺さっているもののみ取り出すと、

となります。横方向の本数は

$$\underbrace{3}_{横} \times (\underbrace{2}_{縦} + \underbrace{4}_{高さ}) \times 2 = 36\text{本}$$

と分かります。

同じ様に高さ方向は

$$\underbrace{4}_{高さ} \times (\underbrace{2}_{縦} + \underbrace{3}_{横}) \times 2 = 40\text{本}$$

です。最後にねんど玉ですが

を中空ではなく全部埋まっているとした場合、

$$(\underbrace{2}_{縦} + 1) \times (\underbrace{3}_{横} + 1) \times (\underbrace{4}_{高さ} + 1) = 60\text{個}$$

ですが、そこから中空の部分の直方体に入る粘土を消せばいいので、消す個数は

$$(\underbrace{2}_{縦} - 1) \times (\underbrace{3}_{横} - 1) \times (\underbrace{4}_{高さ} - 1) = 6\text{個}$$

です。よって $60 - 6 = 54\text{個}$

となります。

(2)

高さが1段増えた場合ですが、

縦方向は

$$\underbrace{2}_{縦} \times (\underbrace{3}_{横} + \underbrace{5}_{高さ}) \times 2 = 32\text{本}$$

横方向は

$$\underbrace{3}_{横} \times (\underbrace{2}_{縦} + \underbrace{5}_{高さ}) \times 2 = 42\text{本}$$

高さ方向は

$$\underbrace{5}_{高さ} \times (\underbrace{2}_{縦} + \underbrace{3}_{横}) \times 2 = 50\text{本}$$

です。

粘土玉は、内部も埋まっているとした場合の

$$(\underbrace{2}_{縦} + 1) \times (\underbrace{3}_{横} + 1) \times (\underbrace{5}_{高さ} + 1) = 72\text{個}$$

から中空部分の直方体に入っている

$$(\underbrace{2}_{縦} - 1) \times (\underbrace{3}_{横} - 1) \times (\underbrace{5}_{高さ} - 1) = 8\text{個}$$

を消すので

$$72 - 8 = 64\text{個}$$

です。

(3)

問題文と(1),(2)の答えをまとめると

	問題文, 高さ2	(1), 高さ4	(2), 高さ5
高さ方向の竹ひご	20	40	50
ねんど玉	34	54	64

となります。ここから、高さを1段増やした時、高さ方向の竹ひごが10本増えて、ねんど玉が10個増えたことが分かります。つまり、縦横を固定すると、$\text{ねんど玉の数} - \text{高さ方向の竹ひごの数}$ は高さによらず一定だと予測されます。上の場合差は14です。

ちなみにこの理由は説明できます。次の図のように、1段を中程に追加すると、追加されるねんど玉一つ一つに、高さ方向の竹ひごが1本突き刺さります。

さて、$\text{ねんど玉の数} - \text{高さ方向の竹ひごの数}$ が一定ということで、高さが1cmの状況まで減らしてもこの関係式は成り立つはずです。

(1) のような 縦2cm、横3cm の状態から、高さだけ 1cm に変えたのが下の図です。

確かにねんど玉は24個、高さ方向の竹ひごは10本で、差が14となっています。

さて、問題は 「（ねんど玉）- (高さ方向の竹ひご) - 2」が表しているものを聞いています。

ここで、高さ方向の竹ひご10本を下図のように、赤い5本は上のねんど玉に対応させ、緑の5本は下のねんど玉に対応させてみます。

その上で上の段のねんど玉12個を分類すると、

• 赤い竹ひごに突き刺さった5個
• 右下の1個
• 残りの$2\times3$の長方形の6個

に分解できます。下の段のねんど玉12個を分類すると、

• 緑の竹ひごに突き刺さった5個
• 左上の1個
• 残りの$2\times3$の長方形の6個

に分かれます。

つまり 「（ねんど玉）- (高さ方向の竹ひご) - 2」 は、残りの長方形6個が2つ分、と言えます。

この長方形は、$\text{縦} \times \text{横}$ に対応していますね。

よって、

$$\text{(ねんど玉)}- \text{(高さ方向の竹ひご)} - 2 = 2 \times \text{縦} \times \text{横}$$

といえます。

(4)

(3) から

$$\underbrace{506}_{ねんど玉} - \underbrace{360}_{高さ方向の竹ひご} - 2 = 2 \times \text{縦} \times \text{横}$$

と言えます。よって、

$$\text{縦} \times \text{横} = (506 - 360 - 2) \div 2 = 72$$

が分かります。

さらに (3) と全く同じ事が、残りの2方向にも言えます。

$$\underbrace{506}_{ねんど玉} - \underbrace{384}_{縦方向の竹ひご} - 2 = 2 \times \text{横} \times \text{高さ}$$

から

$$\text{横} \times \text{高さ} = (506 - 384 - 2) \div 2 = 60$$

です。そして、

$$\underbrace{506}_{ねんど玉} - \underbrace{264}_{横方向の竹ひご} - 2 = 2 \times \text{高さ} \times \text{縦}$$

から

$$\text{高さ} \times \text{縦} = (506 - 264 - 2) \div 2 = 120$$

以上をまとめると

$$\begin{align} \text{縦} \times \text{横} &= 72 \\ \text{横} \times \text{高さ} &= 60 \\ \text{高さ} \times \text{縦} &= 120 \end{align}$$

$(2), (3)式$ から$\text{横}:\text{縦} = 1:2$ です。

$(1)式$から、$\text{横} \times \text{横} = 72 \div 2 = 36$ と分かり、

$$\text{横} = 6$$

です。そこから、

$$\text{縦} = 12$$ $$\text{高さ} = 10$$

と分かります。