直方体を切断した時の断面積【0038】 解答・解説

解答

(1) 3.5cm²

(2) 5.25cm²

解説

(1)

B,D,Gで切断した時の切り口は以下の図のようになります。

普通はこういう立体切断の断面積は算数の範囲では求まらないのですが、今回の場合は求まります。

この断面図の三角形の三辺は、それぞれ (1cm, 2cm), (1cm, 3cm), (2cm, 3cm) のペアを直角に開いた時の斜辺の長さに相当しています。

つまり、展開して、組み合わせの順番を変えると

という正方形にぴったり収まります。

よって断面積は

$$3 \times 3 - 1 \times 2 \div 2 - 1 \times 3 \div 2 - 2 \times 3 \div 2 = 3.5\mathrm{cm}^2$$

です。

(2)

P,Q,R はそれぞれ辺の真ん中の点 (中点) なので、切り口は他の中点を通る六角形になります。

外側に伸ばした交点をS,T,Uとすると、大きな三角形STUは (1) の切り口と相似です。

頂点 E を基準として各切り口の線 (稜線) を伸ばすと ES=4.5cm,EU=3cm,ET=1.5cm となり、(1)の各辺長 3cm,2cm,1cm の 1.5 倍になっています。そのため、三角形STUの面積は

$$3.5\mathrm{cm}^2 \times \dfrac{3}{2} \times \dfrac{3}{2}$$

です。

三角形STUの各辺を3等分して図のように線を引くと、三角形STUの内部に同じ三角形が9つ並びます。 そのうち6個が切り口の断面積です。 よって、求める断面積は三角形STUの面積の $\dfrac{6}{9}$ 倍です。

よって断面積は

$$3.5\mathrm{cm}^2 \times \dfrac{3}{2} \times \dfrac{3}{2} \times \dfrac{6}{9} = 5.25\mathrm{cm}^2$$

です。