枡の中の表面積と容積 【0002】 解答・解説

解答

1683 cm³

解説

という様に、内側の長さをそのまま $\ctext{縦}$、$\ctext{横}$ と置いてしまいましょう。

内側の底面積を $\ctext{面}$ = $\ctext{縦} \times \ctext{横}$ とします。

$$\begin{align*} 表&面積の半分 \\ &= \ctext{面} + 9 \times ( \ctext{縦} + \ctext{横} ) \\ &= 878 \div 2 \\ &= 439 \tag{1} \end{align*}$$

です。木の体積を左側・右側・手前側・奥側・底面の5分割にします。4隅は左側・右側・手前側・奥側に一つずつくっつけると

$$\text{左} = \text{右} = (\ctext{縦} + 1) \times 10$$ $$\text{手前} = \text{奥} = (\ctext{横} + 1) \times 10$$ $$\text{底面} = \ctext{面} \times 1$$

となるので

$$\begin{align*} 787 = &(\ctext{縦} + 1) \times 10 \times 2 \\ &+ (\ctext{横} + 1) \times 10 \times 2 \\ &+ \ctext{面} \end{align*}$$

です。整理すると

$$\ctext{面} + 20 \times (\ctext{縦} + \ctext{横}) = 747 \tag{2}$$

$(2) - (1)$ より

$$9 \times (\ctext{縦} + \ctext{横}) = 308$$ $$\ctext{縦} + \ctext{横} = 28$$ $$\ctext{面} = 747 - 20 \times 28 = 187$$

よって

$$\text{体積} = \ctext{面} \times 9 = 1683 \mathrm{cm}^3$$

余談

聞かれてはいませんが、

$$\ctext{縦} + \ctext{横} = 28$$

と

$$\ctext{縦} \times \ctext{横} = 187$$

から縦と横は 11cm と 17cm とわかります。