分数列を既約分数にする【0003】 解答・解説

$\dfrac{\ctext{1}}{140 + \ctext{3}}$ という形をしている。

$\ctext{1} : 140 + \ctext{3} = 1 : 5$ より、$140 + \ctext{3} = \ctext{5}$

よって $\ctext{1} = 70$。 答えは 70番目

$\ctext{1} : 140 + \ctext{3} = 2 : 11$ より、$280 + \ctext{6} = \ctext{11}$

よって $\ctext{1} = 56$。 答えは 56番目

分子が1の既約分数の逆数は整数。

つまり分数列の逆数を取った、$\dfrac{140+\ctext{3}}{\ctext{1}} = 3 + \dfrac{140}{\ctext{1}}$ が整数だということになる。

$\ctext{1}$は140の約数であれば良い。

$140 = 2 \times 2 \times 5 \times 7$ から、約数の個数は $3 \times 2 \times 2 =$ 12個。

$3 + \dfrac{140}{\ctext{1}} = \dfrac{\rtext{奇数}}{2}$ という形になれば良い。

この時、$\ctext{1}$ は 2 で丁度3回割れる必要がある。またその他 5 か 7 を約数にもつこともできる。よって

$8, 8 \times 5, 8 \times 7, 8 \times 5 \times 7$ の 4通り。