何個配ったかわからない時のアメ玉の個数と人数【0026】 解答・解説

解答

一袋32個。人数は19人。

解説

一袋のアメ玉の数を $\ctext{1}$ として、人数を $P$ としましょう。

すると、条件文から

$$\ctext{3} - 1 \text{が}P\text{の倍数} \tag{1}$$ $$\ctext{5} - 8 \text{が}P\text{の倍数} \tag{2}$$

だと分かります。そこで $2 \times (1) - (2)$ を計算すると

$$\ctext{1} + 6$$

も $P$ の倍数だと分かります。では $\ctext{1} + 6$ は $P$ の何倍でしょうか。

「1袋の時は、一人1個配った後、アメが何個か余ります。」という条件は

$$P < \ctext{1} < 2 \times P$$

を意味しています。そのため、「$\ctext{1} + 6$ が $P$ の1倍」ということはありえません。

また、「$\ctext{1} + 6$ が $P$ の3倍」となるためには

$$3 \times P = \ctext{1} + 6 < 2 \times P + 6$$

となり、 $P < 6$ でないといけません。しかし、アメが8個余ることから $P > 8$ となるので矛盾します。

同様に、「$\ctext{1} + 6$ が $P$ の4倍やそれ以上」の場合も、$P$ は6よりもっと小さい数でないといけないので矛盾します。

そのため、$\ctext{1}+6$ は $2 \times P$ の可能性しかありません。

$$\ctext{1} = 2 \times P - 6$$

を (1) に代入すると

$$\ctext{3} - 1 = 3 \times (2 \times P - 6) - 1 = 6 \times P - 19$$

となり、これが $P$ の倍数になるということは、19が $P$ で割り切れる必要があります。

$P > 8$ より、$P = 19$ に確定します。

この時、一袋のアメ玉の数は

$$\ctext{1} = 2 \times P - 6 = 32$$

となります。