マス目上の9点で作る三角形の個数と面積【0030】 解答・解説

どっちかの1めもりと反対の端っこを選ぶ4通りを検討していきます。本当は全部検討する必要はないですが、(3)で必要なので先にやります。

三角形ABF = $2 \times 4 - 2 - 1 - 2 = 3\mathrm{cm}^2$

三角形DEI (= 三角形ABI) = $2 \times 2 - 0.5 - 1 - 1 = 1.5\mathrm{cm}^2$

三角形AFG = $5 \times 1 \div 2 = 2.5\mathrm{cm}^2$

三角形HIE (= 三角形FGE) = $2 \times 3 - 1 - 0.5 - 1 - 3 = 0.5\mathrm{cm}^2$

よって最小は 0.5cm²となります。

最大は、三角形ABFの底辺ABの代わりに、4めもり分のAEを取った時です。

$3 \mathrm{cm}^2 \times 4 = 12 \mathrm{cm}^2$。

(2) から、ABFは3cm²、ABIは 1.5cm²でした。

F~Iが等間隔のため、ABF, ABG, ABH, ABI の面積も等間隔になります。

分かりやすくするためにこれ以降は三角形の面積の2倍を扱うことにすると

という風にまとめられます。底辺は1,2,3,4 めもり分あり、面積も2,3,4倍になっていくので、全ての組み合わせは

と表せます。9x9の表の一部のようですね。

同じことを F~I から2点取る場合でも行います。

(2) から、FGAは2.5cm²、FGEは 0.5cm²でした。

A~Eが等間隔のため、FGA, FGB, FGC, FGD, FGE の面積も等間隔になります。

三角形の面積の2倍は

という風にまとめられます。