1,2,3,4,5,7,9を並び替えて11の倍数を作る【0033】解答・解説

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1,2,3,4,5,7,9を並び替えて11の倍数を作る【0033】

★★★☆☆11の倍数組み合わせの最大最小場合の数倍数整数

2026/10/28 更新

解答

(1) 576個

(2) 最小 1243759、最大 9752413。

解説

(1)

11の倍数の判定法は「偶数桁の数の合計と奇数桁の数の合計の差が11の倍数」というものです。例えば「16181」は偶数桁の合計が8+6=14、奇数桁の合計が1+1+1=3 で差が11の倍数なので、元の16181も11の倍数です。差が0の時も含みます。

7桁の場合、◯△◯△◯△◯ と配置した時、「◯の4枚の合計」と「△の3枚の合計」の差が11の倍数となります。

使うカード1,2,3,4,5,7,9の合計は 31です。これを◯の4枚と△の3枚に分けて差を11の倍数にする必要があります。差としてありえるのは0, 11, 22 の3通りです。

分けた2つの合計のうち、大きい方を $\ctext{大}$ 、小さい方を $\ctext{小}$ とすると、

\ctext{大} = \dfrac{31+\text{差}}{2}

\ctext{小} = \dfrac{31-\text{差}}{2}

なので、差は奇数でないといけません。よって差は11しかありえません。

この時、 $\ctext{大} = 21$ 、 $\ctext{小} = 10$ となります。

「◯の4枚の合計」が10の時

◯の4枚は {1,2,3,4} の場合しかありません。

「△の3枚の合計」が10の時

△の3枚は

{1,2,7}
{1,4,5}
{2,3,5}

の3通りありえます。

どの場合も、(4枚の並べ替え) $\times$ (3枚の並べ替え)のため、答えは

(\underbrace{4 \times 3 \times 2 \times 1}_{\text{4枚の並べ替え}}) \times (\underbrace{3 \times 2 \times 1}_{\text{3枚の並べ替え}}) \times \underbrace{4}_{\text{上記の4通りのペア分け}}

= 576 \text{個}

となります。

(2)

最小

上2桁を「1,2」にできればそれが最小のパターンです。

つまり◯の4枚に1が入り、△の3枚に2が入るケースですが、それは

△の3枚に {2,3,5}、◯の4枚に {1,4,7,9} が入る場合のみです。

◯ と △ それぞれの残りのカードを、上の位から小さい順（◯ は 4, 7, 9、△ は 3, 5）に当てはめた 1243759 が答えです。

最大

上2桁を「9,7」にできればそれが最大のパターンです。

つまり◯の4枚に9が入り、△の3枚に7が入るケースですが、それは

△の3枚に {1,2,7}、◯の4枚に {3,4,5,9} が入る場合のみです。

◯ と △ それぞれの残りのカードを、上の位から大きい順（◯ は 5, 4, 3、△ は 2, 1）に当てはめた 9752413 が答えです。

最大と最小の時で、◯の4枚と△の3枚の組み合わせが変わるのが面白いポイントかと思います。

1,2,3,4,5,7,9を並び替えて11の倍数を作る【0033】解答・解説