直角三角形を回転させて辺と頂点を重ねる【0037】 解答・解説

解答

$\dfrac{3}{11}\mathrm{cm}^2$

解説

辺 BC と辺 AB’ の交点を D とします。求める重なり部分は三角形 ADC です。

角ABCを◯、角BCAを×と置きます。◯+×=90°です。

図のようになります。ここで、AC = AC’ なので、アの角度は×です。

点C周りの角度の関係から、イ+×+ア=180° です。◯+×=90°を思い出すと、イ=◯+◯です。

角B’DC = 180°-◯-イ

角BDA = 180°-◯-ウ

角B’DC = 角BDA なので、ウ = イ = ◯+◯ と分かります。

角B’AC = 90°-ウ であり、また 90°-エでもあります。

よって エ = ウ = ◯+◯ と分かります。

ここまでをまとめると、

となります。

さて、三角形ADCの面積を聞かれていますが、AC=1cmなので、DのACに対する高さが分かるはずです。そこでその高さを求めたいですが、ぱっと分かりそうにありません。

でも、DのACに対する高さが分かるということはCD:DBも分かるはずです。Dの場所が正確に分かるということは、B’の場所も正確に分かるはずで、となるとC’の場所も正確に分かるはず、ということで、C’の場所を特定していく方針を採用します。

CC’に垂直二等分線を引いて、交点をMとします。

さらに、MとC’からCAに垂直に線 (垂線) を引きます。

◯と×の直角三角形の辺の長さの比は 1:2 だったので、CE:EM = 1:2、そして EM:EA = 1:2 となります。つまり以下の図のようになります。

CM:MC’=1:1 なので三角形CEMとCFC’は相似比1:2であることが分かるので、

となります。

CA=$\ctext{5}$ ですが、CA=1cm だったので、$\ctext{1}$ は 0.2cm とわかります。

つまりAから見て、C’の位置は右に0.8cm, 上に0.6cm行った場所にあります。

最初の方の図に戻ると、角DAC’は直角でした。

そのため、Aから見てDの位置は左に$\rtext{3}$、上に$\rtext{4}$ 行く方向にあります。

求めたいのはDのACに対する高さでした。DからACに垂直な線を下ろし交点をGとするとDG:GA = 3:4 となります。

また、DG:GC = AB:AC = 2:1 となります。よって、上の図のように G は CA を 1.5 : 4 に分ける点となります。

よって $\rtext{5.5} = 1\mathrm{cm}$ から、 $\rtext{1} = \dfrac{2}{11}\mathrm{cm}$ です。

求めたい高さDGは $\rtext{3} = \dfrac{6}{11}\mathrm{cm}$ なので、三角形 ACD の面積は

$$1 \times \dfrac{6}{11} \div 2 = \dfrac{3}{11}\mathrm{cm}^2$$

となります。