周りを覆うタイルの枚数 - 灘中入試模試 【0009】 解答・解説

解答

84枚

解説

そもそも囲む必要はなく、右端、下端に寄せてしまっても使うタイルの枚数は変わりません。

赤の横と縦を $x, y$ とします。

右下に $8 \mathrm{cm}$ の正方形ができるので、そこを取り除くと

$$(x + y) \times 8 = 87 + 137 - 8 \times 8 = 160$$

よって

$$x + y = 20$$

です。次に青タイルの増加を見ると、

$$3 \times x + 5 \times y + 3 \times 5 = 87$$

ここで $y = 20 - x$ なので、

$$100 - 2 \times x = 72$$

から $x = 14, y = 6$ と分かります。

よって、答えは $14 \times 6 = 84$ となります。

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中学数学を使えばもっとあっけなくて、横$x$、縦$y$と置けば

$$赤 = xy$$ $$\begin{align*} 青 &= (x+5)(y+3) - 赤 \\ &= 3x+5y+15 = 87 \tag{1} \end{align*}$$ $$\begin{align*} 黄 &= (x+8)(y+8) - (x+5)(y+3) \\ &= (xy+8x+8y+64) - (xy+3x+5y+15) \\ &= 5x+3y+49 \\ &=137 \tag{2} \end{align*}$$

(1),(2)から

$$\begin{align*} 3x+5y=72 \\ 5x+3y=88 \end{align*}$$

を解いて

$$x=14, y=6$$

となります。