3種類の食塩水の組み合わせ【0019】 解答・解説

解答

A = 8%, B = 14%, C = 5%

解説

例えば A=3%, B=9% だとすると、Aを2杯とBを1杯混ぜると5%になります。これは「重み付き平均」をとるのと同じで

$$\dfrac{3 \times 2 + 9 \times 1}{3} = 5$$

という状況です。コップの容積はこの問題では答えに影響しません。

A,B,C の濃度をそのまま A,B,C で表すと、問題の状況は

$$\dfrac{2 \times A + B}{3} = 10$$

と言っているわけです。つまり3つの状況を整理すると

$$\begin{align*} 2 \times A + B = 30 \tag{1}\\ 2 \times B + C = 33 \tag{2} \\ 2 \times C + A = 18 \tag{3} \\ \end{align*}$$

となるのであとはこの消去算を解く（方程式を解く）だけです。どう解いてもよいですが一例として

(3) を (1)に代入

$$\begin{align*} 2 \times (18 - 2 \times C) + B &= 30 \\ 36 + B - 4 \times C &= 30\\ 6 + B - 4 \times C &= 0 \tag{4} \end{align*}$$

(2)$\times 4$ を (4) の両辺に足す

$$\begin{align*} 6 + B - 4 \times C + 8 \times B + 4 \times C &= 0 + 132 \\ 6 + 9 \times B &= 132 \\ 9 \times B &= 126 \\ B &= 14 \end{align*}$$

などと求まります。後は A=8%, C=5% も同様に求まります。