直角三角形の周りと内部を動く円の通過面積【0029】 解答・解説

解答

(1) 290.24cm²

(2) 228.56cm²

(3) 132.56cm²

解説

(1)

円が直角三角形の外側を接しながら移動するとき、通過する領域は以下の図（斜線部）のようになります。

そのため、面積は

$$4 \times (15 + 20 + 25) + 4 \times 4 \times 3.14 = 290.24 \mathrm{cm}^2$$

です。

(2)

円の中心が辺上を通るので

の図の全体から斜線部分を引いたところが通った領域となります。

$$\begin{align*} \text{全体} &= \underbrace{15 \times 20 \div 2}_{\text{元の三角形}} + \underbrace{2 \times (15 + 20 + 25)}_{\text{外側の長方形3つ}} + \underbrace{2 \times 2 \times 3.14}_{\text{3つの扇形}} \\ &= 282.56 \mathrm{cm}^2 \end{align*}$$

です。

よって、答えは

$$282.56 - 9 \times 12 \div 2 = 228.56\mathrm{cm}^2$$

(3)

先程の (2) の図を再利用します。

(3) の「円が直角三角形の内部を辺に接するように一周する時」というのは、「円の中心が (2)の斜線部の辺上を通る時」と一緒です。

つまり、(2) と全く同じ解き方で解けます。 (2) は 「15,20,25cm の辺上を通った時」の面積でした。 (3) は 「9,12,15cm の辺上を通った時」の面積となります。

以下の図は前述のものを使いまわしているので、縮尺は合っていません。

$$\begin{align*} \text{全体} &= \underbrace{9 \times 12 \div 2}_{\text{元の三角形}} + \underbrace{2 \times (9 + 12 + 15)}_{\text{外側の長方形達}} + \underbrace{2 \times 2 \times 3.14}_{\text{3つの扇形}} \\ &= 138.56 \mathrm{cm}^2 \end{align*}$$

そこから斜線部の三角形を引きますが、そこには半径$1\mathrm{cm}$の円が入ります。相似比$3:1$なので、斜線部の三角形は3,4,5cm の直角三角形です。

よって、答えは

$$138.56 - 3 \times 4 \div 2 = 132.56\mathrm{cm}^2$$

です。