2000を割ったら余りが商より47大きい - 灘中入試模試 【0031】 解答・解説

解答

92

解説

割る数を $A$、商を $B$ とします。

$$2000 \div A = B \text{あまり} (B+47)$$

ということは

$$2000 = A \times B + (B+47)$$

です。47を両辺から引くと

$$1953 = (A+1) \times B$$

です。

1953 を素因数分解すると $3 \times 3 \times 7 \times 31$ です。

ここで、$A$ は割る数、余りは $B+47$ です。割り算の性質から「割る数 $>$ 余り」なので、

$$A > B + 47$$

です。$B \ge 1$ より $A \ge 48$ であり、問題文より $A$ は2桁の整数なので $48 \le A \le 99$、すなわち $49 \le A+1 \le 100$ です。

よって、 (A+1, B) のペアとしてありえそうなのは、(63, 31) と (93, 21) だけです。

この内、$A > B+47$ が成り立つのは (A+1=93, B=21) の時だけです。

よって A = 92 となります。

検算:

$$2000 \div 92 = 21 \text{あまり} 68$$